L'objectif de cet article est d'analyser de la vidéo au niveau didactique et historique, puis de montrer des exemples de prolongements du travail en laboratoire en collège ou en lycée. Les questions que la vidéo permet d'aborder sont les suivantes:
Pour Euclide, le mot carré désigne la figure et le théorème 47 du livre 1 dit que la somme des carrés géométriques construits sur les côtés est «égale» au carré construit sur l'hypoténuse. Le mot égal désigne une notion «d'égalité de surfaces» qu'Euclide a définie auparavant et dont il a donné des critères, basés sur la superposition et sur l'usage de théorème tels que les cas «d'égalité» de triangles. La vidéo permet de visualiser les carrés et, à l'aide d'une animation permet de montrer qu'elle est valable pour tous les triangles rectangles inscrits dans un demi cercle. Pour nous, la notion de carré est ici une notion numérique: on mesure les côtés, on élève les nombres obtenus au carré et la relation dans un triangle rectangle est obtenue en comparant la somme des carrés des côtés et celle de l'hypoténuse.
Suivant les auteurs, le «théorème de Pythagore» est introduit soit comme une relation dans un triangle rectangle, soit comme réponse à une question : comment avec deux carrés en faire un seul ? La vidéo permet de trouver des illustrations de ces deux points de vue, sans qu'ils soient explicités.
La vidéo ne suit pas l'ordre des programmes français. Elle fournit de multiples démonstrations qui en font la richesse. Dans l'histoire et dans les différentes civilisations, le théorème appelé par nous «théorème de Pythagore» a fait l'objet de centaines de démonstrations. Celles-ci se ramènent essentiellement à trois grands types:
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les puzzles ou des découpages de figures géométriques;
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la méthode des aires, soit dans la variante euclidienne, soit sous forme d'usage de formules d'aires; Ainsi, la proposition 37 du livre 1 et sa variante sur les parallélogrammes sont donnés dans les préliminaires de la vidéo. La justification chez Euclide se fait par déplacement de pièces, dans la vidéo, la justification dans la vidéo utilise des formules d’aires de triangles. Dans la vidéo, deux animations illustrent la démonstration d’Euclide et sa variante arabe.
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l'usage de triangles de mêmes formes, des rapports et des propriétés de la similitude.
Dans les vidéos, deux prolongements sont envisagés. Tous deux sont développés dans les Eléments d'Euclide. Ils correspondent aux deux questions suivantes:
Par quoi remplacer la relation de Pythagore pour des triangles qui ne sont pas des triangles rectangles ?
Cela fait l'objet de deux propositions du livre 2 d'Euclide et donne pour nous les formules de trigonométrie du triangle. Deux propositions portant sur les deux cas du triangle avec angle en A aigu et obtus figurent dans le livre 2 des Eléments.
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Proposition 12 : Dans les triangles obtusangles,le carré sur le côté sous-tendant l'angle obtus est plus grand que les carrés sur les côtés contenant l'angle obtus de deux fois le rectangle contenu par celui des côtés de l'angle obtus sur lequel tombe la perpendiculaire et par la droite découpée à l'extérieur par la perpendiculaire au delà de l'angle obtus.
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Proposition 13 : Dans les triangles acutangles, le carré sur le côté sous-tendant l'angle aigu est plus petit que les carrés sur le côtés contenant l'angle aigu de deux fois le rectangle contenu par celui des côtés de l'angle aigu sur lequel tombe la perpendiculaire et par la droite découpée par la perpendiculaire en deçà de l'angle aigu.
Ces deux propositions portant sur les deux cas du triangle avec angle en A aigu et obtu figurant dans le livre 2 des Eléments servent de base à des animations réalisées par Tom Apostol pour la vidéo Sinus et cosinus 2 et sont utilisées pour établir les formules de trigonométrie du triangle, ou l'on retrouve encore la dualité numérique géométrique pour le terme « rectangle ».
Que se passe-t-il si on remplace les carrés sur les côtés d'un triangle rectangle par des figures semblables ?
Cela fait l'objet de la proposition 31 du livre 6 des Eléments : Dans les triangles rectangles, la figure sous - tendant l'angle droit est égale aux figures sur les côtés de l'angle droit, semblables et semblablement décrites. Ce théorème repose sur le fait que les aires des figures semblables sont entre elles comme les carrés du rapport des cotés. Dans le livre 6, il porte sur des figures rectilignes, mais il se généralise à des figures semblables quelconques.
Chacun peut expérimenter par soi-même à la fois la puissance des animations et la densité du contenu. Chacun est convaincu que le travail avec l'enseignant est nécessaire pour exploiter ces vidéos. Une proposition de travail écrit à faire par les élèves est proche des techniques de compte rendu de recherche. Des captures d'écrans présentant les étapes principales de démonstration ont été faites. On demande aux élèves d'écrire la légende des photos. Ainsi, en utilisant ses propres mots, l'élève doit justifier les principales étapes de la démonstrations. Deux exemples de tels documents de travail à adapter par les enseignants seront mis en ligne sur les démonstrations du théorème de Pythagore chez Euclide et celle des arabes.
