Auteur(s) : Apostol Tom (version anglaise) ; Cousquer Eliane ; Cousquer Christian ; Caron Pierre-André (adaptation française). Editeur : Project « Mathematics ! » de l'Université Caltech (USA). Type : vulgarisation. Langue : Français. Support : 9 vidéos téléchargeables sur u-tube U. . Utilisation : enseignant, formateur, chercheur. Chaque vidéo doit s'accompagner d'un travail "papier-crayon" sur une séquence choisie. Des documents pédagogiques et historiques d'accompagnement sont disponibles sur le site Médiamaths crée par les auteurs de l'adaptation française. (http://www.mediamaths.net/)
Une série de trois vidéos est consacrée à la trigonométrie, aux sinus et cosinus : Voici un survol des thèmes traités dans ces vidéos.
Sinus et cosinus 1 : trigonométrie, sinus, cosinus, courbe, symétrie, figure animée, courbe périodique, série de Fourier, figures semblables, rapport, longueur, histoire des sciences.
Sinus et cosinus 2 : figure animée, loi des cosinus, loi de sinus, topographie.
Sinus et cosinus 3 : figure animée, formules d’addition des sinus et des cosinus, démonstration, triangle rectangle, triangles semblables, Théorème de Ptolémée, tables de sinus.
Vidéo «Sinus et Cosinus 1 »
Après un bref rappel des prérequis concernant les propriétés des figures semblables et du nombre, le programme s’ouvre sur des exemples de mouvements circulaires dans la vie réelle et introduit ensuite le sinus en relation avec un point parcourant un cercle unité en sens inverse des aiguilles d’une montre. La distance parcourue le long de la circonférence est la mesure en radian de l’angle au centre correspondant et est portée sur un axe des t horizontal. La hauteur y du point mobile, au dessus ou en dessous du diamètre horizontal est appelée le sinus de t et est écrite. Quand y est tracé en fonction de t, le graphe résultant est appelé une courbe sinus ou une sinusoïde. Par symétrie de la courbe sinus par rapport à différentes droites, quelques propriétés simples du sinus sont révélées, par exemple , et . Une symétrie de la sinusoïde autour de la première bissectrice engendre une nouvelle courbe appelée courbe cosinus donnée par. La courbe cosinus est aussi obtenue en décalant la courbe sinus de radians vers la gauche, révélant que .
Ensuite, on montre qu’on obtient une onde sinusoidale en enregistrant les modifications de la pression de l’air causées par un diapason en vibration. C’est l’occasion d’introduire la fréquence (nombre de vibrations par secondes) et l’amplitude (maximum de hauteur de la courbe au dessus de l’axe) et d’illustrer ces concepts avec les tons produits par différents instruments de musique. Des combinaisons de tons sont représentées graphiquement en ajoutant les coordonnées y correspondantes. La nature répétitive ou périodique de la courbe sinus est ensuite soulignée. D’autres ondes périodiques sont montrées et le programme mentionne la remarquable découverte de Fourier qui a montré que toute onde périodique est une combinaison d’ondes sinus et cosinus, avec des fréquences et des amplitudes appropriées.
Un peu d’arrière plan historique est ensuite donné et on montre comment les sinus et les cosinus interviennent en trigonométrie comme rapports de longueurs de côtés dans un triangle rectangle. La loi des cosinus, la loi des sinus et les formules d’addition sont mentionnées brièvement. Elles seront développées en grand détail dans les parties 2 et 3 du programme Sinus Cosinus. Le programme s’achève par un montage visuel de système vibratoires.
Découpage et présentation notionnelle
02 : 08 Avant toute chose…
Cette partie présente quelques prérequis sur le similitude, les triangles et les figures semblables. Les propriétés de conservation des angles et des rapports de longueurs, et en particulier des périmètres des figures, avec une application au cercle qui introduit pi comme périmètre du cercle de diamètre unité.
04 : 26Logo Mathematics et titre Sinus et Cosinus
04 : 57Mouvement circulaire et ondes sinusoïdales
Une série de photos montre que le mouvement circulaire est au cœur des machines qui domine notre façon de vivre. Pour relier le mouvement circulaire aux mathématiques, on utilise un point qui se déplace sur la circonférence d’un cercle et on introduit le radian comme mesure de l’angle au centre obtenu en enroulant le rayon le long de la circonférence d’un cercle. Celle-ci fait 2 Pi radians. On observe des angles fractions simples du radian. On introduit les axes de coordonnées en utilisant l’ombre d’un point mobile autour du cercle, dont on observe l’ombre suivant différentes directions. Apparait un graphe appelé sinusoïde et Y est appelé le sinus de l’angle T, mot venant du mot latin sinus signifiant penché ou courbe. Ce programme illustre les propriétés des courbes sinusoïdes.
09 : 15 Symétrie des sinusoïdes
On regarde varier le sinus quand l’angle croît de zéro à un angle plat, puis à 2 pi et les différentes symétries de la courbe sinus et les relations trigonométriques associées. A l’aide d’une symétrie par rapport à la première bissectrice, on introduit la courbe cosinus ou sinus du complémentaire de T appelé cosinus. Sur le cercle, sinus et cosinus sont les coordonnées horizontale et verticale du point.
15 : 04 Les sinusoïdes et le son
Les ondes sinusoïdales apparaissent aussi dans des phénomènes sonores, sans rapport avec les cercles. Un diapason en vibrant met en mouvement l'air autour de lui, en le comprimant et le dilatant à chaque vibration. La variation de la pression acoustique peut être détectée non seulement avec l’oreille, mais aussi avec un microphone relié à un oscilloscope qui trace une sinusoïde. Le nombre de vibrations par seconde s'appelle la fréquence reliée à la tonalité du son. La hauteur de la courbe liée au volume ou intensité du son s'appelle son amplitude. Si on combine un ton avec une harmonique, le graphe de la combinaison s’obtient en ajoutant les hauteurs correspondantes sur deux sinusoïdes. On écoute la même note jouée sur beaucoup d’instruments différents et on observe les graphes correspondants. Les instruments de musique produisent des ondes complexes dont les graphes peuvent être obtenus en combinant des sinusoïdes.
18 : 21 Ondes périodiques et les séries de Fourier
La sinusoïde est périodique. On observe des exemples d’ondes périodiques, onde carrée, onde en dents de scie, onde périodique obtenue répétant n'importe quel graphe qui revient à sa valeur originale sur un intervalle. Au début du 19ème siècle, Joseph Fourier, stupéfia le monde mathématique en montrant que chaque onde périodique était une combinaison de sinus et cosinus avec des amplitudes et des fréquences appropriées. On observe comment les ondes des sinus et cosinus se combinent pour rapprocher différentes ondes.
20 : 48 Sinus et cosinus comme rapports
Des photos de documents astronomiques babyloniens, grecs tels que l’Almageste de Ptolémée, montrent des tables de cordes. Pensant que les planètes se déplaçaient sur des orbites circulaires, les astronomes s’intéressèrent aux cordes de cercles (dont le sinus introduit plus tard est la moitié).
En trigonométrie, dans l'étude de triangles rectangles, le sinus d’un angle est la longueur du coté opposé à l'angle divisée par la longueur de l’hypoténuse et le cosinus est la longueur du côté adjacent divisé par la longueur de l’hypoténuse. Ces rapports étaient employés dès les débuts de la trigonométrie et de l’astronomie, et ceux-ci sont encore employés aujourd'hui dans les constructions à grande échelle, dans la navigation, en astronomie dans des formules qui décrivent le mouvement elliptique d'une planète ou d'un vaisseau spatial gravitant autour du soleil.
24 : 44 Récapitulation
Ce programmea montré comment les sinus et les cosinus apparaissent de différentes façons, comme coordonnées rectangulaires d'un point sur un cercle d'unité, comme graphes liés à un mouvement vibratoire et comme rapports des longueurs des côtés de triangles rectangles. Les sinus et cosinus jouent un rôle fondamental dans l’analyse des mouvements vibratoires. Les mathématiques des sinus et des cosinus, la trigonométrie, nous aident à mieux comprendre le monde autour de nous.
