Auteur(s) : Apostol Tom (version anglaise) ; Cousquer Eliane ; Cousquer Christian ; Caron Pierre-André (adaptation française). Editeur : Project « Mathematics ! » de l'Université Caltech (USA). Type : vulgarisation. Langue : Français. Support : 9 vidéos téléchargeables sur u-tube U. . Utilisation : enseignant, formateur, chercheur. Chaque vidéo doit s'accompagner d'un travail "papier-crayon" sur une séquence choisie. Des documents pédagogiques et historiques d'accompagnement sont disponibles sur le site Médiamaths crée par les auteurs de l'adaptation française. (http://www.mediamaths.net/)
Une série de trois vidéos est consacrée à la trigonométrie, aux sinus et cosinus : Voici un survol des thèmes traités dans ces vidéos.
Sinus et cosinus 1 : trigonométrie, sinus, cosinus, courbe, symétrie, figure animée, courbe périodique, série de Fourier, figures semblables, rapport, longueur, histoire des sciences.
Sinus et cosinus 2 : figure animée, loi des cosinus, loi de sinus, topographie.
Sinus et cosinus 3 : figure animée, formules d’addition des sinus et des cosinus, démonstration, triangle rectangle, triangles semblables, Théorème de Ptolémée, tables de sinus.
Vidéo « Sinus et cosinus 3 »
Après un bref rappel des parties I et II du programme Sinus cosinus, ce programme relie sinus et cosinus d'un angle avec les longueurs de cordes d’un cercle. Ceci amène à plusieurs dérivations différentes des formules d'addition pour le sinus et le cosinus d'une somme de deux angles. L’une d’elles est basée sur un théorème célèbre de Ptolémée sur des quadrilatères inscrits dans un cercle. Plusieurs applications des formules d'addition sont données. L’une d’elles montre qu'une combinaison d'une onde sinusoïdale avec une onde cosinus de même fréquence est une autre onde sinusoïdale, peut-être décalée. Une autre montre comment les formules d'addition permettent de déterminer des expressions exactes pour les sinus et cosinus de beaucoup d'angles en termes de racines carrées des nombres entiers.
Découpage et présentation notionnelle
02 : 01 Rappel des parties1 et 2
On a déjà vu que les sinus et les cosinus apparaissent de différentes manières : comme coordonnées rectangulaires d'un point se déplaçant sur un cercle d'unité, comme graphes liés au mouvement vibratoire et comme rapports de longueurs des côtés d’un triangle rectangle. En trigonométrie, ces rapports nous aident à trouver les caractéristiques de n'importe quel triangle quand trois en sont donnés. Une application de la trigonométrie est la topographie par triangulation qui utilise la loi des sinus. La loi des sinus dit que dans n'importe quel triangle, le rapport de la longueur d'un côté sur le sinus de l'angle opposé est une constante, égale au diamètre du cercle passant par les trois sommets, ce qui va être démontré dans ce programme avec d’autres théorèmes qui nous sont parvenues grâce à l'Almageste de Ptolémée.
04 :00 logo mathematics
Sines and cosines Partie III : Formules d’addition
Des animations montrent pourquoi des angles inscrits interceptant une même corde de cercle sont égaux ou supplémentaires, pourquoi les angles au centre correspondants en sont le double. On en voit une utilisation pour tracer des arcs de cercles. Avec des triangles rectangles inscrits dans un demi-cercle, une animation amène à une preuve simple de la loi des sinus et montre que le rapport constant est égal au diamètre du cercle. Quand le diamètre est égal à 1, la longueur d'une corde est égale au sinus de l'angle inscrit. On a une autre façon de générer des ondes sinusoïdales, avec des cordes d’un cercle du diamètre 1 en traçant la longueur de cette corde en fonction de l'angle inscrit.
10 :23 Présentation de documents antiques sur le lien entre les sinus et les cordes de cercles avec le traité sur les cordes des cercles du mathématicien grec Hipparque écrit autour de – 150 et l'Almageste, écrit environ 300 ans après par Ptolémée qui est avec les Eléments d'Euclide, un des livres fondammentaux de l’antiquité. Ils furent écrits à Alexandrie, ville fondée par Alexandre le Grand après sa conquête de l'Egypte en 331 avant Jésus Christ.
11 : 08 Formule d’addition des sinus
Cette formule indique comment trouver le sinus d'une somme en fonction des sinus et cosinus des différents termes. Plusieurs démonstrations intéressantes seront données à l’aide d’animations informatiques. Une permet de la découvrir cette formule à partir de la propriété des cordes des cercles, vue auparavant. L(autre fera appel au théorème de Ptolémée.
12 : 51 Le théorème de Ptolémée
Ptolémée a lui-même prouvé la formule d'addition, en utilisant une propriété remarquable des quadrilatères inscrits dans un cercle. Des animations illustrent le théorème de Ptolémée, sa démonstration et son application à la formule d’addition des sinus, ainsi que la formule d’ddition des cosinus.
17 :25 Applications des formules d’addition
On voit des applications aux graphes des ondes sinusoïdales et à des formules de trigonométrie, pour des angles particuliers, pour les formules de doublement.
22 : 27 Sinus et cosinus d’angles particuliers
Dans cette partie, on calcule de façon exacte le sinus et le cosinus d’angles particuliers et on voit ainsi comment établir une table de sinus et cosinus des angles multiples de 3°.
26 :07 Application à l’oscillation harmonique simple
Les formules d'addition sont également employées pour analyser le mouvement d’oscillation harmonique simple d’une bille roulant au fond d'un bol, d’une masse oscillant au bout d'un ressort.
27 : 41 Récapitulons
Dans ce programme nous avons appris que les propriétés des cordes de cercles mènent aux formules d'addition des sinus et des cosinus d’angles particuliers. Ils jouent également un rôle fondamental pour l’analyse du mouvement harmonique simple. On donne un aperçu des amthématiques développées à Alexandrie, ville crée par un général d’Alexandre et qui fut le centre intellectuel du monde antique pendant 7 siècles. Les prochains programmes sur les polynômes et l’histoire des mathématiques introduiront un des secteurs les plus passionnants et les plus profonds des mathématiques, le calcul différentiel et intégral.
