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Cet article explique les techniques de visualisation employées dans la première vidéo Sinus et Cosinus, elle détaille les problèmes rencontrés et les solutions apportées.
Cette séquence rappelle à l’observateur que dans des triangles semblables les longueurs des côtés correspondants sont dans le même rapport. Les côtés en surbrillance montrent ces côtés correspondants pendant que les rapports apparaissent à l’écran. Pour concentrer l'attention sur l'objet en discussion, les bords sont d’une couleur plus lumineuse que le fond et les intérieurs des triangles. L'animation montre ce qui arrive aux périmètres par dilatation et revoit alors la définition de comme rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre.
| roue à eau | temps modernes |
Cette séquence montre des roues à eau, un chariot qui roule, des moulins à vent, des automobiles et des trains pour illustrer que le mouvement circulaire réitéré est présent dans des machines qui dominent notre façon de vivre de l’antiquité aux temps modernes. Quand le narrateur prononce « des temps modernes », l'écran montre un extrait amusant du film de Charlie Chaplin de même nom.
L'animation montre comment le mouvement circulaire est décrit mathématiquement par un point se déplaçant autour d'un cercle du rayon 1 et comment la mesure en radian des angles intervient naturellement en mesurant la distance autour du cercle en fonction de son rayon. Pour introduire une courbe sinus, la vidéo montre une tache lumineuse sur la jante d'une roue de locomotive qui est transformée par l’animation en point se déplaçant sur un cercle. Ce qui est vu réellement dépend du point de vue. Le mouvement semble circulaire s'il est regardé dans une direction perpendiculaire au plan du cercle. Pendant que le plan tourne autour d'un diamètre vertical, la tache semble se déplacer le long d'une courbe ovale (ellipse) et quand le plan a tourné de 90° le mouvement semble vertical en haut et en bas, comme si la tache suivait une ombre. La taille de l'ombre au-dessus ou au-dessous d'un diamètre horizontal est tracée en fonction de l'angle de la rotation de la roue pour produire une courbe de sinus.
Les propriétés de symétrie du cercle donnent les propriétés particulières des courbes sinusoïdales. Par exemple, tandis que l'angle t augmente de 0 à pi/2 radian, l'animation montre le graphique du sinus de t augmente de 0 à 1. Pendant que l'angle continue à augmenter d'un angle droit avec un angle plat, la courbe de sinus redescend à nouveau vers zéro, formant une arche symétrique. L’arche est symétrique par rapport à la ligne parce que le cercle est symétrique autour de son diamètre vertical. La symétrie de l’arche implique que les angles supplémentaires ont le même sinus ; c'est-à-dire, que le sinus d'un angle est égal au sinus de son supplément. L'animation indique ceci d'une façon efficace et convainquante.
| symétrie | symétrie |
Puisque le cercle est également symétrique par rapport à son diamètre horizontal, l'animation révèle que quand t varie de à - pi, le sinus est négatif et son graphe a la même forme que la première arche, à ceci près qu'elle est renversée. Le sinus de - t est l’opposé du sinus de t. Le cercle est également symétrique par rapport au diamètre pi/4. Quand la courbe de sinus est réfléchie autour de cette ligne, elle donne une nouvelle courbe appelée sinus complémentaire ou cosinus. L'animation montre que le cosinus de pi/2-t est égal au sinus de t. les angles et sont dits angles complémentaires et le sinus d'un angle est égal au cosinus de son complément.
L'animation explique pourquoi les coordonnées rectangulaires (x, y) d'un point se déplaçant autour d'un cercle unité sont donnés par cos t et sin t. Il est alors montré que la courbe cosinus peut aussi être obtenue en décalant la courbe de sinus vers la gauche de pi/2 radians, révèlant la formule de trigonométrie associée.
| micro | synthétiseur |
Cette séquence relie des ondes sinusoïdales et des tonalités musicales. Il montre la forme d'une onde sin t et pour un harmonique sin 2t, qui a la même amplitude mais une fréquence double. Quand les deux tonalités sont jouées simultanément la forme de l'onde résultante est obtenue en ajoutant sin t et sin 2t, et l'animation montre comment le graphe de la somme est obtenu en ajoutant des ordonnées correspondantes.
| batterie | onde sonore |
Quand une note musicale particulière est jouée sur différents instruments, tels qu'une flûte et une clarinette, le son émis aura une qualité différente parce que chaque instrument produit une combinaison différente d’harmoniques et d’amplitudes. L'animation montre comment la forme de l'onde associée à chaque instrument est obtenue en combinant des ondes avec différentes fréquences et amplitudes.
Quand un point se déplace plusieurs fois autour d’un cercle, l’angle de rotation s’accroït de après chaque tour complet. La forme du graphe du sinus est répétée indéfiniment. Cela fournit l’occasion d’introduire le concept général de périodicité. Différentes sortes de fonctions périodiques sont montrées, telles que des ondes carrées ou en dent de scies.
| ondes périodiques | Fourier |
Puis le théorème remarquable de Fourier est montré, énonçant que toute onde périodique est une combinaison linéaire de sinus et de cosinus de fréquences et d’amplitudes variables. L’animation donne une description vivante du phénomène de Gibbs appliqué à une onde carrée.
| Gibbs | phénomène de Gibbs |
| instruments anciens | mesure d'angle |
Un triangle rectangle de côtés a et b et d’hypoténuse c est transformé par dilatation en un triangle rectangle semblable dont l’hypoténuse est le rayon du cercle unité. L’animation montre qu’en raison de la similitude, les rapports a/c et b/c sont égaux respectivement au sinus et au cosinus d’un des angles du triangle rectangle.
La récapitulation explique que les épisodes suivants montreront comment ces rapports sont utilisés en trigonométrie
